mas.exponenta.ru mas.exponenta.ru mas.exponenta.ru
он-лайн расчеты в Mathcad
Перейти на главную страницу
новости | о проекте | сотрудничество совместный проект Exponenta.ru и СПбГПУ
Рубрикатор


Ссылки

Прислать работу

Инструкции


МАТЕРИАЛЫ ПРОШЛЫХ ЛЕТ

В начало

Функции Minimize и Maximize

Кроме встроенных функций, приведенных в табл. 1 и 2 (см. файл Model_1), в задачах построения математических моделей большую помощь оказывают встроенные функции Minimize и Maximize, появившиеся в системах MathCAD, начиная с 8 версии. Эти функции относятся к категории встроенных функций Solving и реализуют процедуру поиска экстремума функций j (a) многих переменных ai как при наличии, так и при отсутствии ограничений на комбинации последних. Функции j (a) в задачах оптимизации могут быть как линейными, так и нелинейными (например, квадратичными). Поэтому при использовании встроенных функций Minimize и Maximize предусмотрен выбор метода оптимизации (например, метод сопряженных градиентов, метод Ньютона для нелинейных функций j (a)), для чего необходимо нажать правую кнопку мыши при наведении курсора на логин Minimize или Maximize.

Поисковые процедуры широко используются в задачах построения математических моделей. И если раньше исследователь был вынужден разработать программу процедуры поиска вектора параметров a, потратить значительное время на отладку и реализацию программы, то теперь, с появлением встроенных функций Minimize и Maximize, в его руках появилось средство "быстрого реагирования" на его научные запросы. Понятно, что возможность практического применения встроенных функций Minimize и Maximize не исключает возможность разработки специальных программ поиска экстремума в случае необходимости.

Примеры, рассмотренные нами ранее (см. файл Model_1), могут быть успешно решены и с применением встроенных функций Minimize и Maximize. Покажем это на рассмотренном ранее примере полиномиальной регрессии (см. рис. 1).

На этом рисунке приведены два варианта решения простой задачи полиномиальной регрессии в среде MathCAD 2001 Pro. В первом варианте используется встроенная функция regress; во втором показано, как для этой задачи можно применить встроенную функцию Minimize. Результаты решения, конечно, совпадают. Все пояснения даны на представленной копии файла MathCAD 2001 Pro.

Функции Minimize и Maximize полезны также и при построении моделей динамических систем и их звеньев. В этом случае, как указывалось в файле Model_1, в качестве аргумента наблюдаемой (измеряемой, исследуемой) функции у(х) выступает время. Функция у(х) при этом обычно представляет реакцию динамической системы на определенное входное воздействие. При этом часто используется так называемое единичное ступенчатое воздействие, при котором реакция системы носит название разгонной или переходной характеристики. Напомним, что для линейной динамической системы имеет место следующее операторное выражение, связывающее изображение по Лапласу переходной характеристики у(р) с передаточной функцией системы W(p): у(р) = W(p)/p.

Анализ переходной характеристики, получаемой в результате эксперимента, дает достаточно много дополнительной информации, такой как: начальное и конечное (для устойчивой системы) значения, характер изменения во времени (колебательный, апериодический и т.д.). Эти данные позволяют сделать более определенным выбор возможного аппроксимирующего выражения и упростить в случае надобности процедуру поиска, сократив число искомых параметров путем использования начального или конечного значений переходной характеристики. Процедура сокращения числа искомых параметров путем использования дополнительных (начальных или конечных данных) базируется на предельных соотношениях преобразования Лапласа и описана, например, в работе:

Ивановский Р. И. Компьютерные технологии в науке. Практика применения систем MathCAD 7 Pro, 8 Pro, 2000 Pro: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000 (разд. 6.3, с. 162).

Из теории методов поиска экстремумов известно, что качество получаемых в результате поиска решений в сильной степени зависит от характера линий уровней. В том случае, когда поверхность уровней имеет характер вытянутого оврага, могут возникнуть проблемы достижения точного решения. К сожалению, подавляющее число задач определения параметров аппроксимирующих выражений относится именно к этому типу.

Рассмотрим простейшую учебную задачу идентификации параметров апериодического звена, в которой имеется возможность показать поверхность уровней. На рис. 2 приведен файл MathCAD 2001 Pro с ее решением. Переходная характеристика задается вектором у ее значений, соответствующим значениям моментов времени в векторе х. Аппроксимирующее выражение обозначено Y1; целевая функция - z1; вектор найденных параметров - А0. Поверхность уровней изображена на трехмерном графике. Хорошо виден "овражный" характер этой поверхности, вытянутой вдоль оси, которая соответствует значениям первого элемента вектора А искомых параметров. Эта ось отмечена красным цветом. Ниже графиков (см. рис.2) приведены значения целевой функции, полученные при поочередном 10-процентном изменении параметров относительно истинных величин. Эти значения подтверждают вывод об "овражном" характере поверхности уровней.

Отмеченный характер поверхности уровней является типовым в задачах рассматриваемого класса и часто служит причиной вычислительных трудностей при попытке достичь решения путем реализации поисковой процедуры. В последующих частях рассматриваемой темы будет показано, что при использовании метода наименьших квадратов для решения подобных задач проиллюстрированное свойство сопряжено с появлением плохо обусловленных матриц.

Завершая беглый анализ возможности применения поисковых процедур и соответствующих встроенных функций MathCAD при построении моделей, отметим основные правила, которые помогают достичь качественного решения:

  • Исходная переходная характеристика должна быть задана на интервале времени, гарантирующем информативность исходных данных; задание этой характеристики на частичном интервале времени, когда еще не проявились все особенности ее изменения, не гарантируют достижение приемлемой точности;
  • Использование дополнительной информации способствует сокращению времени решения и повышению точности результата;
  • Анализ трехмерного изображения фрагментов поверхностей уровней и вариация начального приближения позволяет избежать локальных минимумов.

Рассмотреть все многообразие задач оценки параметров переходных функций практически невозможно и в этом материале такая задача не ставится. В общем случае - это нетривиальные задачи.

В файлах MathCAD 2001 Pro Е_1 (html), Скачать (mathcad) и Е_2 (html) Скачать (mathcad) приводится решение задачи для звена второго порядка с различными корнями как без использования дополнительной информации (Е_1.mcd), так и с использованием установившегося значения переходной характеристики (Е_2.mcd). Звено имеет передаточную функцию

W(p) = W 1(p) + W 2(p), W 1(p) = 1/( p + 0.5); W 2(p) = 8/(р + 2).

Установившееся значение переходной характеристики для этого случая определяется величиной W (0) = - 2. Для обозначений параметров, принятых в файле Е_1.mcd, это означает: А1 - А3 = - 2, т.е. А3 = А1 + 2. Последнее соотношение и используется в аппроксимирующем выражении файла Е_2.mcd. Сопоставление полученных результатов показывает, что использование дополнительной информации позволило получить более высокую точность при большей свободе выбора начальных приближений.

В заключении отметим, что анализ динамических систем, конечно, не ограничивается вариантом единичного входного воздействия. В следующей части материала будут рассмотрены варианты произвольных входных сигналов и возникающая при этом задача определения параметров модели системы путем одновременного использования входных и выходных ее сигналов.

 

В начало




новости | форум | о проекте | сотрудничество | Exponenta.ru

Copyright © 2000-2016. Exponenta.ru