mas.exponenta.ru mas.exponenta.ru mas.exponenta.ru
он-лайн расчеты в Mathcad
Перейти на главную страницу
новости | о проекте | сотрудничество совместный проект Exponenta.ru и СПбГПУ
Рубрикатор


Ссылки

Прислать работу

Инструкции


МАТЕРИАЛЫ ПРОШЛЫХ ЛЕТ

В начало 

Построение моделей динамических систем с использованием беспоисковых алгоритмов

В этой части нашего материала остановимся на проблеме построения моделей динамических систем и их звеньев с использованием беспоисковых алгоритмов. Удобство практического использования таких алгоритмов и сравнительная простота их программной реализации хорошо известны. Как правило, беспоисковые алгоритмы идентификации опираются на аппарат линейной алгебры, в детерминированной постановке задач - на метод наименьших квадратов в форме псевдообращения матриц или в рекуррентной форме. Близкий по типу обширный класс задач стохастической идентификации использует для решения методы оптимальной фильтрации и алгоритмы типа фильтров Калмана-Бьюси. Эти алгоритмы по структуре аналогичны алгоритмам метода наименьших квадратов в рекуррентной форме. Рассматриваемый здесь класс задач построения моделей динамических систем и их звеньев с использованием беспоисковых алгоритмов весьма широк. Остановимся лишь на одной из задач этого класса - определении параметров линейных динамических звеньев; сформируем беспоисковую вычислительную процедуру и проанализируем ее свойства в среде MathCAD 2001 Pro, опираясь на результаты, опубликованные автором в учебном пособии "Компьютерные технологии в науке. Практика применения систем MathCAD 7, 8, 2000 Pro" (Изд-во СПбГТУ, 2000, 12,5 п.л.). Указанное пособие получило гриф Минобразования и в настоящее время завершается написание его новой версии.

В практических приложениях часто встречается задача определения математической модели системы или ее фрагмента по измеренным входным воздействиям и реакциям на них. Таким образом, будем считать, что необходимо найти параметры аппроксимирующего выражения, заданного в одной из взаимосвязанных форм: в виде передаточной функции, системы дифференциальных уравнений, разностных уравнений, z-передаточной функции. Процедуры перехода от одной из форм в любую другую известны и будут использованы ниже для формирования алгоритма определения параметров. Взаимосвязь указанных форм позволяет рассмотреть нашу задачу как для непрерывных, так и дискретных систем. Из последующего материала будет видно, что проблема определения параметров разностных уравнений или z-передаточной функции динамического звена составляет лишь часть проблемы определения параметров передаточной функции или системы дифференциальных уравнений. Поэтому рассмотрим задачу определения параметров передаточной функции W(p) как наиболее общую. Решение этой задачи потребует некоторого теоретического обоснования, которое будет рассмотрено в этой части материала с иллюстрациями в среде MathCAD 2001 Pro. Назовем эту часть "Взаимно обратные преобразования ".

Взаимно обратные преобразования

Для определенности будем считать, что передаточная функция W(p) является правильной (степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя) и соответствует устойчивой системе, т.е. W(infty.gif (840 bytes)) = 0, W(0) = h(infty.gif (840 bytes)). Здесь h(infty.gif (840 bytes)) - константа, установившееся значение переходной характеристики (реакции на единичный скачок) системы.

Системы подобного типа описываются дифференциальными уравнениями в форме Коши:

, ( 1 )

где: x - (n x 1) - вектор состояний системы, А - (n х n) - матрица динамики системы; u, y - скалярные входное воздействие и выходной сигнал (реакция) системы; В, Н - n-мерные вектор-столбец и вектор-строка коэффициентов соответственно, х(0) - начальное состояние системы.

В общем случае неоднозначная проблема получения систем дифференциальных уравнений вида (1), не имеющих производных входного сигнала в правых частях, для правильных передаточных функций n - го порядка является нетривиальной.

Назовем реализацией совокупность матриц R = (А, В, Н) системы уравнений (1). Одна из множества таких реализаций, а именно R1 = (A1, B1, H1), представляет для рассматриваемой задачи определения параметров первоочередной интерес. Приведем основные соотношения, справедливые для реализации R1.

Пусть правильная передаточная функция W(p) n-го порядка, соответствующая уравнениям (1), имеет вид:

 

(2)

Тогда матрицы реализации R1 будут иметь следующую структуру и параметры: H1 = |10 0 … 0|,

А1 = ; В1 = С -1a . (3)

Здесь обозначено: Q - [(n - 1) x 1] - нулевой вектор; En-1 - единичная матрица порядка (n - 1); С - (n x n) - нижняя треугольная матрица вида:

C =. (4)

Нетрудно убедиться, что реализация R1 удовлетворяет передаточной функции (2), т.е.

W(p) = H1·[p•С - С•A1] -1a . (5)

Из структуры матрицы А1 следует, что она будет неособенной при b1 notequal.gif (827 bytes) 0, т.е. при отсутствии в передаточной функции чисто интегрирующих составляющих. В дальнейшем будем предполагать b 1 notequal.gif (827 bytes) 0, имея в виду, что распространение полученных ниже результатов на случаи b1 = 0, b1 = b2 = 0 и т.д. не вызовет затруднений.

Обратим внимание на то, что структура матрицы А1 реализации R1 имеет предельно сжатую форму. Действительно, при общем числе элементов этой матрицы, равном n2, она имеет всего n параметров, подлежащих определению. Этот факт позволяет выбрать подобные структуры матриц динамики системы, а, следовательно, и реализации типа R1, в качестве основных в рассматриваемой задаче. Общее число неизвестных параметров (векторы a и b ) в реализациях типа R1 составляет 2n.

Автором получен ряд свойств реализации R1, которые позволяют резко упростить задачу определения параметров. Приведем здесь эти свойства без доказательств.

Свойство 1. Матрица наблюдаемости N1 реализации R1 является единичной: N1 = E. (6)

Свойство 2. Реализация R1 = (А1, В1, Н1) образуется из любой другой полностью наблюдаемой реализации R = (A, В, Н) изменением базиса пространства состояний с помощью матрицы наблюдаемости N реализации R.

Можно показать, что полученная в результате такого преобразования подобия новая система имеет матрицы реализации R1, т.е.

A1 = N•A•N - 1; B1 = N•B ; H1 = H•N - 1. (7)

Таким образом, согласно свойству 2, реализация, полученная из R преобразованием подобия с использованием собственной матрицы наблюдаемости, является реализацией R1.

Аналогичные свойства справедливы и для представления модели системы в виде разностных уравнений. Перейдем от системы (1) к эквивалентным разностным уравнениям

xk+1 = Ф(Т) • xk + Г(T) uk ; yk+1 = Hxk+1; x(0) = x0 (8)

с помощью стандартного подхода:

 

 

 

 

 

Обозначим реализацию, соответствующую уравнениям (8) через

Rd = (Ф(Т), Г(T), H). (9)

Отметим здесь, что переход от исходной реализации R1 к реализации Rd сопровождается резким увеличением числа неопределенных параметров по сравнению с реализациями типа R1, поскольку структура матриц при этом не сохраняется. Для получения наиболее приемлемой структуры (далее называемой компактной формой) матриц уравнений (8) осуществим, как это делалось для непрерывной системы, замену переменных с помощью матрицы наблюдаемости Nd реализации Rd: z = Nd·x.

В результате получим реализацию Rd1 со следующими матрицами (зависимость матриц от интервала дискретности Т для простоты опустим):

Rd1 = (Ф1, Г1, H1), Ф1 = NdФNd - 1 ,

Г1 = Nd · Г , H1 = H· Nd - 1. (10)

Можно показать что для полученной реализации справедливы свойства, аналогичные рассмотренным выше для непрерывного случая.

Свойство 3. Матрица наблюдаемости Nd1 реализации Rd1 является единичной:

Nd1 = | H1Т . . . (H1·Ф1n - 1 )T |T = E n (11)

Свойство 4. Реализация Rd1 = (Ф1, Г1, H1) с матрицами (10) образуется из любой другой полностью наблюдаемой реализации Rd = (Ф, Г, H) изменением базиса пространства состояний с помощью матрицы наблюдаемости Nd реализации Rd.

Эти свойства легко доказываются и свидетельствуют о том, что структура матриц реализации Rd1 дискретной системы аналогична структуре матриц реализации R1 непрерывной системы:

Ф1 = ; Г1 = M - 1d ; H1=|10 0…0|. (12)

Здесь обозначено: Q - [(n - 1) x 1] - нулевой вектор; En - 1 - единичная матрица порядка (n -); M - (n x n) - нижняя треугольная матрица вида:

M =, (13)

где векторы d, s и с содержат коэффициенты полиномов знаменателя и числителя z-передаточной функции дискретного звена. Эта передаточная функция связана с любой разностной реализацией известным соотношением, которое приведем здесь для реализации Rd1 (12):

W(z) = H1•(z•En - Ф1) - 1Г1. (14)

Эти выражения и cвойства 1-4 являются необходимыми, но не достаточными для решения задач определения параметров, поскольку неопределенным остается вопрос обратного перехода от реализаций дискретного звена (Rd или Rd1) к реализациям непрерывного звена R или R1 . Автором было показано, что обратный переход от произвольной реализации Rd = (Ф(Т), Г(T), H) дискретной системы к некоторой реализации R* = (A*, B*, H*) непрерывной системы может быть осуществлен с помощью следующих соотношений:

; ; H* = H. (15)

Матричный логарифмический ряд для нахождения A* при корректном выборе интервала дискретности может вычисляться с высокой точностью при числе членов, равном 7 (см. файл Пр.mcd, Пр.html - html-версия).

Получение матриц (15) реализации R* непрерывной системы по предварительно найденным реализациям Rd или Rd1 обеспечивает возможность нахождение параметров реализации R1 и восстановление искомых параметров передаточной функции W(p) (2) с помощью взаимно обратных преобразований (1) - (15) форм представления дискретных и непрерывных линейных динамических систем.

В файлах Св_1.mcd (Св_1.html) и Св_2.mcd (Св_2.html) приведены результаты символьных вычислений, подтверждающие описанные свойства для непрерывных систем.

В файле Св_1.mcd (Св_1.html) для звена третьего порядка составлены матрицы компактной реализации R1. Символьными преобразованиями восстанавливается исходная передаточная функция и с помощью встроенной функции stack определяется матрица наблюдаемости N1 (в файле обозначена через N), которая в данной реализации и должна быть единичной по первому свойству (6). Передаточная функция W(p) получена с использованием выражений (5) и (2).

Получение реализации R1 из произвольной реализации R путем преобразования подобия с помощью неособенной матрицы наблюдаемости реализации R показано в примере, приведенном в файле Св_2.mcd (Св_2.html). В результате такого преобразования исходных матриц получаем реализацию R1, о чем свидетельствует единичная матрица наблюдаемости полученной системы.

Следует отметить, что символьные преобразования в рассмотренных файлах, как и в других, сопровождаются окрашиванием отдельных элементов в красный цвет и появлением сообщений о неопределенности этих элементов. Это обычное поведение системы в режиме символьных вычислений не мешает получению результатов в символьном виде.

В файле Св_3.mcd   (Св_3.html) приведены иллюстрации рассмотренных свойств разностных реализаций дискретного звена. Из исходной реализации R1 непрерывной системы (3) последовательно получены реализации Rd и Rd1 дискретной системы. При вычислении матриц наблюдаемости циклически использована встроенная функция stack. Результаты вычислений подтверждают справедливость свойств 3 и 4.

Установившееся значение переходной характеристики дискретного звена имеет незначительную погрешность, вызванную выбором предельно допустимого для этого случая интервала дискретности (Т = 0.4). При уменьшении этого значения вдвое результаты непрерывного и дискретного анализов практически совпадают.

Следует сделать одно замечание, касающееся технологии символьных вычислений и возможности получения символьных выражений в процессе вычислений. Практическое применение MathCAD при решении ряда задач выявило особенность этих программных систем, которая касается иногда возникающих трудностей получения символьных выражений с параметрами - результатами предыдущих вычислений с плавающей точкой. В то же время, если те же параметры набираются с клавиатуры и имеют ограниченное число значащих цифр, необходимые символьные вычисления выполняются без проблем.

В примере (см. файл Св_3.mcd (Св_3.html)) эта особенность встретилась при попытке использовать полученные расчетами матрицы Ф1, Г1, H1 реализации Rd1 (выражение выделено рамкой) для получения z-передаточной функции. Это вызвало необходимость введения вспомогательных матриц F, G, M и переприсваивания в них значений матриц реализации Rd1. После этой искусственной операции получение W(z) по (14) не составило труда.

Последовательность взаимно обратных преобразований иллюстрируется на примере, представленном в файле Пр.mcd (Пр.html). В примере использованы исходные данные, принятые в предыдущей задаче (см. файл Св_3.mcd (Св_3.html)). Справа в файле Пр.mcd (Пр.html) приводятся названия реализаций, к которым относятся получаемые матрицы. Матрицы наблюдаемости формируются в примере, как и ранее, многократным использованием функции stack. Вычисления производились при Т = 0.2.

Сопоставляя исходные матрицы A, B, H с матрицами L, K, M заключительного этапа преобразований (см. файл Пр.mcd (Пр.html)), можно заметить их практическое равенство. Это означает, что, решая задачу определения параметров системы одного типа, с помощью соответствующей части взаимно обратных преобразований можно определить параметры эквивалентной системы другого типа с высокой точностью.

В следующих частях будет приведена вычислительная процедура решения рассматриваемых задач и проанализированы особенности ее практической реализации.

В начало




новости | форум | о проекте | сотрудничество | Exponenta.ru

Copyright © 2000-2016. Exponenta.ru