mas.exponenta.ru mas.exponenta.ru mas.exponenta.ru
он-лайн расчеты в Mathcad
Перейти на главную страницу
новости | о проекте | сотрудничество совместный проект Exponenta.ru и СПбГПУ
Рубрикатор


Ссылки

Прислать работу

Инструкции


МАТЕРИАЛЫ ПРОШЛЫХ ЛЕТ

В начало 

Построение моделей динамических систем с использованием беспоисковых алгоритмов.
Формализация и решение задачи (общий случай)

Преобразования моделей, рассмотренные в предыдущем разделе, позволяют сформулировать задачу определения параметров динамических систем (звеньев) путем прямого использования входных и выходных данных следующим образом.

Пусть линейное динамическое звено (непрерывное или дискретное) порядка n представлено своими входным сигналом u и выходным сигналом y, которые получены посредством измерений через интервал дискретности Т.

Требуется определить параметры эквивалентных форм описания звена, в том числе:

  • передаточной функции W(p) (2);
  • системы n дифференциальных уравнений в форме Коши (1);
  • системы n разностных уравнений (8);
  • z-передаточной функции W(z) (4);
  • разностного уравнения n-го порядка вида

. (16)

Эти формы связаны между собой соотношениями (3), (14), (15). Уравнение (16) легко получить из z-передаточной функции W(z) (14) или из реализации Rd1 (12), (13).

Таким образом, имеется множество результатов измерений yi , ui , i = 0, 1, 2, .. N , которые необходимо использовать для получения:

  • вектора параметров g размерностью (2n x 1):

gT = | -cT , dT |, cT = | c1 , c2 , . . . cn |, dT = | d1 , d2 , . . . dn |, (17)

  • передаточных функций W(p), W(z);
  • матриц разностных и дифференциальных уравнений.

Взаимно обратные преобразования, рассмотренные в предыдущем разделе, позволяют решить поставленную задачу.

Параметры (18) составляют векторы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя z-передаточной функции и входят в матрицы (12), (13) реализации Rd1. В случае, когда известным является установившееся значение переходной характеристики y(infty.gif (840 bytes)) дискретного звена (14)

y(infty.gif (840 bytes)) = Н1[En - Ф1]-1 Г1 u(infty.gif (840 bytes)) (18)

это значение может быть использовано для контроля правильности получаемых результатов оценки вектора g.

Подставляя в соотношение (18) матрицы реализации Rd1 (12), (13), получаем для y(infty.gif (840 bytes)) необходимое выражение:

y(infty.gif (840 bytes)) = Н1[ M - MФ1 ]-1 d (19)

или через искомые элементы:

. (20)

На рис.1 приведена копия файла MathCAD 2001 Pro, в котором символьными преобразованиями получены выражения для z-передаточной функции (14) и установившегося значения (19) переходной характеристики y(infty.gif (840 bytes)) дискретного звена третьего порядка. Передаточная функция W(z) получена с использованием выражения, аналогичного (5), учитывающего неособенность матрицы M (13).

Рис. 1. Символьные преобразования реализации Rd1

Важную роль в задачах рассматриваемого типа играют характеристики входного сигнала исследуемого объекта. При испытаниях объектов имеется возможность использования множества входных сигналов, характеристики некоторых из них могут улучшить условия определения параметров объекта путем преобразования данных о его входе и выходе. Другие входные сигналы могут быть неприемлемыми с точки зрения рассматриваемой задачи.

Опустим здесь обсуждение вопросов выбора рациональных входных сигналов. Этот анализ проведен в [1]. Отметим лишь, что исходные данные могут быть преобразованы к требуемому виду путем введения вспомогательного звена с передаточной функцией U(p), при которой результирующая реакция f(t) объекта с передаточной функцией W(p) удовлетворяет следующему операторному выражению:

f(p) = W(p)U(p)1/p = W(p)u(p); u(p) = U(p)1/p. (21)

В случае, когда исходно задана переходная характеристика h(t) звена с передаточной функцией W(p), выражение (4.21) можно переписать в виде

f(p) = U(p)W(p)1/p = U(p)h(p). (22)

Выражения (21), (22) позволяют перейти от задачи определения параметров передаточной функции W(p) по единичному входному сигналу 1(t) и реакции h(t) к задаче определения W(p) по входному сигналу u(t) и реакции f(t) на него.

В описанных условиях, решение задачи определения 2n неизвестных параметров объекта (2) для различных форм его представления достигается в общем случае (без использования дополнительной информации) последовательным выполнением ряда этапов:

1) с помощью одного из алгоритмов, рассматриваемых ниже, данные yi , ui используются для определения вектора неизвестных параметров g (17);

2) полученный вектор используется для формирования матриц реализации Rd1 = (Ф1, Г1, Н1) (12), (13) разностных уравнений (8);

3) по выражению (14) получаем искомую z-передаточную функцию;

4) с помощью (16) осуществляется переход к эквивалентной непрерывной системе в форме Коши с реализацией R* = (A*, B*, H*);

5) формируется матрица наблюдаемости N* реализации R*;

6) преобразованием подобия (7) из реализации R* восстанавливается реализация R1* = (A, B, H), удовлетворяющая выражениям (3), (4);

7) полученные на предыдущем этапе матрицы реализации R1 используются для определения параметров передаточной функции W(p) (2).

Последовательность перечисленных этапов представляет собой удобный алгоритм получения параметров всех эквивалентных форм описания исследуемого объекта.

Поскольку необходимые выражения для этапов 2-7 были получены ранее, ниже рассматриваются алгоритмы, которые могут быть использованы для выполнения этапа 1 в общем случае. После обсуждения общего случая будут рассмотрены частные случаи, основанные на использовании дополнительных данных.

Этап 1 может быть выполнен с применением ряда подходов, относящихся к классу решений систем линейных алгебраических уравнений. Основой этих подходов служит метод наименьших квадратов в форме обобщенного обращения матриц или в рекуррентной форме.

Для получения решения методом наименьших квадратов представим уравнение (16) в виде

(23)

или в векторно-матричной форме:

(24)

где вектор g имеет структуру, соответствующую (17).

Фиксируя значения входного сигнала и соответствующей выходной реакции системы через q тактов (q = 1, 2, 3...), получаем систему L уравнений (L more.gif (65 bytes) 2n):

, (25)

где . (26)

Решение системы уравнений (4.23) будем искать в виде

, (27)

где - (2n x 1) - вектор оценок искомых параметров по результатам решения L уравнений; - единичная матрица порядка 2n; e - параметр регуляризации, обеспечивающий достижение решения в случае плохой обусловленности матрицы . Рекомендации по выбору параметра e будут даны дополнительно.

Получение вектора параметров по алгоритму (27) дает возможность определить матрицы разностной системы, т.е. сформировать реализацию Rd1, используя (12) и (13), и осуществить дальнейшие преобразования, цепочка которых была приведена на рис. 14, для нахождения остальных искомых элементов. Ниже для простоты записи подстрочный индекс L в элементах выражения (27) будем опускать.

Рассмотрим пример определения средствами MathCAD Pro параметров различных форм представления звена с применением описанного подхода, который базируется на использовании взаимно обратных преобразований. Для возможности оценки качества рассматриваемого подхода, исходные данные будут формироваться путем пропускания входных сигналов через объект с известными характеристиками. Решение примера содержится в файле 2.mcd (2.html).

В примере используется разностная форма представления исходного звена для получения массивов данных входной и выходной последовательностей. В качестве входного сигнала в примере выбран экспоненциальный сигнал, который может быть представлен также и реакцией вспомогательного звена с передаточной функцией первого порядка. Результаты вычислений выходного сигнала звена выводятся функцией с программного модуля в виде вектора-столбца y с 31 элементом. Эти данные используются для формирования строк f матрицы F и элементов вектора Y (26) системы линейных алгебраических уравнений (25).

В рассматриваемом примере принят способ формирования системы (25), использующий выбор результатов измерений выходного сигнала через q отсчетов (рис.18, q = 3). Формирование F и Y выполнено с помощью программных модулей. В блоке формирования F матрица образуется рекуррентным использованием встроенной функции stack для пристыковки снизу очередной строки f к полученной на предыдущем шаге матрице. Номер строки учитывает заданную скважность q измерений. Структура строки f матрицы F показана в файле. Вектор Y формируется прямой пересылкой измеренного значения элемента выходного сигнала в очередной элемент вектора. Выходные данные программных модулей имеют обозначения F и Y. В результате получаем систему (25) из девяти уравнений, решение которой производится для выбранного значения параметра регуляризации e . Результирующий вектор g выделен заливкой.

В нижней части файла 2.mcd (2.html) элементы найденного вектора g используются для проверки установившегося значения переходной характеристики звена по (20) и для формирования матриц дискретной и непрерывной реализаций в соответствии с процедурой взаимно обратных преобразований. Так, с помощью (12), (13) находим матрицы реализации Rd1, которые затем пересчитываются в параметры реализации R* с помощью (16).

Формируя матрицу наблюдаемости реализации R* и осуществляя с ее участием преобразование подобия, получаем восстановленные матрицы реализации R1* исходной непрерывной системы. Для сопоставления и оценки точности полученных значений в нижней части файла справа приводятся эталонные элементы реализации R1. Полученные результаты свидетельствуют о высокой точности процедуры оценки искомых параметров динамического звена.

Опыт использования описанного подхода к решению задач оценки параметров позволяет сделать следующие выводы:

  • метод обеспечивает высокую точность при выборе интервалов дискретности, близких к верхней границе допустимых значений

  • решение задач оценки на компьютерах требует в ряде случаев принятия мер по предотвращению плохой обусловленности матриц, которые обращаются в (27), путем измерений входных и выходных характеристик объекта с заданной скважностью, а также с использованием других подходов, которые рассматриваются ниже при обсуждении путей повышения достоверности оценки;

  • алгоритм решения в общем случае должен предусматривать введение параметра регуляризации, выбор которого осуществляется в задачах рассматриваемого типа на основе сопоставления полученных результатов с известными эталонами;

  • в случае, когда известна лишь переходная характеристика объекта, задача может быть решена путем эквивалентного преобразования входных и выходных сигналов объекта с помощью выражений (21), (22).

Эти рекомендации даются здесь без комментариев, поскольку подробное рассмотрение и иллюстрация необходимости учета каждого из них вызвало бы значительное отклонение от основной направленности материала.

В начало




новости | форум | о проекте | сотрудничество | Exponenta.ru

Copyright © 2000-2016. Exponenta.ru