Интервальные оценки математического ожидания

генеральной совокупности при известной дисперсии

(краткая справка)

 

Дана выборка (x1, x2, …, xn) объема n из генеральной совокупности с генеральным средним mx (неизвестный параметр) и генеральной дисперсией s2 (известна). Ищется интервал [Θ1, Θ2], в котором mx может находиться с доверительной вероятностью  γ. Задача может быть решена двумя путями.

I. Предполагая, что предварительно определена точечная оценка mx – выборочное среднее , в качестве статистики для получения Θ1 = = Θ1(x1, x2, …, xn) и Θ2 =  Θ2 (x1, x2, …, xn) традиционно рассматривается нормированное выборочное среднее

z =  .

Случайная величина z имеет распределение:

1. нормальное, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (z  N(0, 1)), если выборка берется из нормальной генеральной совокупности;

2. асимптотически нормальное (z  ~N(0, 1)), если генеральная совокупность имеет распределение, отличное от нормального.

Интервальная (п.1) или асимптотическая интервальная (п.2) оценка в данном случае формируется на основе неравенства

P[ <  z  < ] = P[– <  z  < ] = γ,

откуда *   δ <   mx  <  * +  δ,       δ = .

Здесь  – квантиль нормированного нормального распределения порядка (1 – α/2), α = 1 – γ.

 

Таким образом, границы доверительного интервала, найденные первым путем, могут быть определены по следующим выражениям:

Θ1 =   ; Θ2 =   + .

 

II. Второй способ получения интервальных оценок в рассматриваемом случае основан на использовании выборочного среднего (без нормировки) в качестве статистики. Границы доверительного интервала определяются значениями квантилей нормального распределения N(,s2/n ) порядков α/2 и (1 – α/2).