Интервальные оценки математического ожидания нормальной

генеральной совокупности при неизвестной дисперсии

(краткая справка)

 

Дана выборка (x1, x2, …, xn) объема n из генеральной совокупности с генеральным средним mx (неизвестный параметр) и генеральной дисперсией s2 (неизвестна). Ищется интервал [Θ1, Θ2], в котором mx может находиться с доверительной вероятностью  γ.

Пусть предварительно определена точечная оценка mx – выборочное среднее . В качестве статистики для получения

Θ1 =  Θ1(x1, x2, …, xn) и Θ2 =  Θ2 (x1, x2, …, xn)

рассматривается нормированное выборочное среднее

z =  ,

где s – корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии (исправленное выборочное СКО).

Известно, что случайная величина z имеет распределение Стьюдента (t- распределение) с (n – 1) степенями свободы.

Определим две квантили t-распределения с (n – 1) степенями свободы:  и  порядка  и (1 – ) так, что

 =  =  ;            a = 1 – g.

Учитывая также, что P[t1 <  z  < t2] = γ  и, в силу симметричности распределения Стьюдента,  = – , получаем

   δ <   mx  <   +  δ,        δ = .

Таким образом, доверительный интервал для рассматриваемого случая имеет границы

Θ1 =  ; Θ2 =  .