Интервальные оценки отношения дисперсий двух

нормальных генеральных совокупностей

(краткая справка)

 

Даны две независимые выборки: Х с элементами (x1, x2, …, xn) и Y с элементами (у1, у2, …, уm), взятые из соответствующих нормально распределенных генеральных совокупностей Хi  N(mx, );  Yj  N(my , );            i = , j = .

Ищется интервал [Θ1, Θ2], в котором отношение дисперсий (sх2/sy2) может находиться с доверительной вероятностью  γ.

В качестве статистики в данной задаче рассматривается соотношение вида:

F = ,

где ,  – исправленные  выборочные дисперсии.

Известно, что случайная величина F имеет распределение Фишера с (n – 1) и  (m – 1) степенями свободы. Таким образом: F =.

Обозначим квантили порядка α/2 и 1 – α/2 F-распределения с (n – 1) и  (m – 1) степенями свободы: =; =, причем

 =  = α/2;          α = 1 – γ.

В этих условиях вероятность того, что случайная величина F  находится в интервале (,), равна доверительной вероятности:

 = γ.                                                                          

Из последнего соотношения следует:

 <  < ;  ,

откуда получаем доверительный интервал с границами

.                                                                           

Используя следующие свойства распределения Фишера

 = ;

 = ,

выражения для границ доверительного интервала можно переписать в форме:

.

 

С использованием приведенных соотношений могут быть построены интервальные оценки для отношения средних квадратических отклонений.