Простой способ перехода от передаточной функции к форме Коши
Кратко остановимся на удобном способе перехода от передаточной функции (ПФ) динамической системы или звена к форме Коши эквивалентной системы дифференциальных уравнений (ДУ). Подобная задача имеет несколько вариантов решения и часто встречается в практике анализа динамических систем при проверке качества решений, полученных путем применения операторных методов их синтеза. При таких проверках проводится интегрирование ДУ для контроля поведения системы на требуемом временном интервале. Проверка часто проводится и на основе применения разностных уравнений, но их получение возможно лишь после построения формы Коши.
В данном проекте уже есть ресурсы, которые содержат универсальные алгоритмы решения рассматриваемой задачи на основе разработанной автором процедуры взаимо обратных преобразований (см. >>>> и <<<< ). Но опыт показал необходимость применения и более простых подходов. Рассмотрим этапы решения задачи перехода от ПФ к ДУ на примере ПФ второго порядка. Принципы подхода распространяются и на ПФ произвольного порядка n.

Дано: правильная ПФ вида
Здесь и далее р - оператор Лапласа; r - вектор параметров ПФ.
Для определенности и предваряя последующую проверку, зададим конкретный вектор r :
Для удобства последующей записи введем также обозначение:
Сущность задачи состоит в следующем.
Требуется получить матрицы (А, В, Н) системы ДУ первого порядка, векторно-матричная форма которой в операторном виде записывается как: рх(р) = Ах(р) + Bu(р); у(р) = Нх(р), где х - n-мерный вектор состояний; у, u - скалярные выходной и входной сигналы соответственно.

Решение
Этап 1. На основании определения ПФ формируется уравнение n -го порядка. При n = 2 получаем:
Этап 2. Центральный. Для ПФ n -го порядка определяется ряд (n - 1) подстановок в уравнение, полученное на предыдущем этапе. Цель каждой последовательной подстановки - понизить порядок этого уравнения на единицу, причем результат всех подстановок должен привести к системе n уравнений первого порядка. При n = 2 такая подстановка - одна. Она объединяет свободные члены последнего уравнения. Результат этой подстановки и сама подстановка образуют требуемую систему двух ДУ первого порядка:
В данном случае (n = 2) вектор состояний х имеет два элемента ( y и z), первый является выходным сигналом. Поэтому матрица Н = [1 0]. Матицы А и В формируются далее по правым частям уравнений.
Этап 3. Формирование матриц А и В. Из полученных выше уравнений следует, что для ПФ второго порядка А и В имеют вид:
Этап 4. Проверка. На этом этапе приведем числовые значения матриц А, В, Н и вид исходной ПФ при заданном выше векторе r. Вводя единичную матрицу Е и общую формулу для определения ПФ по матрицам формы Коши и учитывая, что формульные преобразования в mathcad выполняются в рамках символьных операторов, получаем:
-исходная ПФ
при заданном r
При проверке символ p преобразования Лапласа для надежности результата был заменен на s. В результате W(s) полностью совпадает с W(r,p), что свидетельствует о правильности выполненных преобразований.
Ивановский Р.И.
январь 2021
Made with Mathcad

This web page is running on a Mathcad Application Server, and was authored with Mathcad software. Mathcad is a registered trademark of Mathsoft Engineering & Education, Inc..