Матрицы А, В, Н для бесколебательного звена II порядка (БДФ2, вар.0)
На основе подхода, описанного здесь , приведем формулы связи матриц А, В, Н формы Коши с передаточной функцией (ПФ) бесколебательного звена ( см. >>>> ) второго порядка. ПФ, приведенная ниже, часто используется в качестве бесколеб. динамич. фильтра (БДФ2). Описываемый подход получения А, В, Н может использоваться и для ПФ порядка n.
Дано: правильная ПФ вида
Здесь и далее р - оператор Лапласа; r, k - векторы параметров ПФ.
Для определенности и предваряя последующую проверку, зададим конкретные векторы r и k :
Для удобства последующей записи введем также обозначение:
Требуется получить матрицы (А, В, Н) системы дифф. уравнений (ДУ) первого порядка, в операторной форме имеющей вид: р х(р) = А х(р) + B u(р); у(р) = Н х(р), где х - n-мерный вектор состояний; у, u - скалярные выходной и входной сигналы соответственно.

Решение
Этап 1. На основании определения ПФ формируется уравнение n -го порядка. При n = 2 получаем:
Этап 2. Центральный. Для ПФ n -го порядка определяется ряд (n - 1) подстановок в уравнение, полученное на предыдущем этапе. Цель каждой последовательной подстановки - понизить порядок этого уравнения на единицу, причем результат всех подстановок должен привести к системе n уравнений первого порядка. При n = 2 такая подстановка - одна. Она объединяет свободные члены последнего уравнения. Результат этой подстановки и сама подстановка образуют требуемую систему двух ДУ первого порядка:
В данном случае (n = 2) вектор состояний х имеет два элемента ( y и z), первый является выходным сигналом. Поэтому матрица Н = [1 0]. Матицы А и В формируются далее по правым частям уравнений.
Этап 3. Формирование матриц А и В. Из полученных выше уравнений следует, что для ПФ второго порядка А и В имеют вид:
Этап 4. Проверка. На этом этапе приведем числовые значения матриц А, В, Н и вид исходной ПФ при заданных выше векторах r,k:
Вводя единичную матрицу Е и общую формулу для определения ПФ по матрицам формы Коши и используя символьные преобразования, получаем:
При проверке символ p преобразования Лапласа для надежности был заменен на s. В результате W(s) полностью совпадает с W(r,p), что свидетельствует о правильности выполненных преобразований.
Ивановский Р.И.
февраль 2021
Made with Mathcad

This web page is running on a Mathcad Application Server, and was authored with Mathcad software. Mathcad is a registered trademark of Mathsoft Engineering & Education, Inc..