Пример анализа корней уравнения n-го порядка
f(t) = 0 методом комплексного преобразования
Вариант f(t)
1. f12
2. f42
3. f1f2
4. f3f4
5. f1f4
6. f2f3
Данный ресурс на простом примере иллюстрирует удобство визуального анализа областей расположения корней уравнения с использованием метода комплексного преобразования. Параметризация функции f(t) позволяет производить анализ непосредственно в координатах вещественной (a) и мнимой (b) частей искомых корней. Годограф Михайлова может быть использован при этом для определения числа правых
( ) и левых (a < 0) корней.
Задайте
вариант f(t)
Выбранный вариант f(t)
Годограф Михайлова для f(w) = Rf(w) + jIf(w)
Корни уравнения f(t) = 0
Задайте начальные приближения для a и b
Результат
Метод комплексного преобразования предполагает
подстановку t = a + jb, в результате которой f(t) становится
комплексной функцией двух аргументов f(a,b) = R(a,b)+jI(a,b).
Модуль Rm(a,b) этой функции обладает полезным свойством
индицировать местоположение корней уравнения f(t) = 0, которое
проявляется в процессе сканирования прямоугольных областей
функции Rm(a,b) и анализа линий уровней в координатах aOb. Такой анализ резко упрощает решение проблемы выбора начальных приближений при поиске корней уравнения Rm(a,b) = 0
с использованием встроенных функций root или вычислительных блоков (Given - Find или Minimize). Метод удобно использовать для последовательного определения корней уравнений высокого порядка и/или групп корней (например, только правых). В последнем случае, в вычислительный блок могут вводиться неравенства (например, при поиске правых корней), хотя этого же можно добиться и заданием соответствующих знаков начальных приближений.
автор: Ивановский Р.И.,
СПбГПУ, 07.08.2007
Общий вид поверхности Rm(a,b)
Линии уровней поверхности Rm(a,b) с
индицированными областями расположения корней (Contour Plot)
Made with Mathcad

This web page is running on a Mathcad Application Server, and was authored with Mathcad software. Mathcad is a registered trademark of Mathsoft Engineering & Education, Inc..